我们先读题(≖ᴗ≖)✧

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1-5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v[j]$ ，重要度为 $w[j]$ ，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,…,j_k$ ，则所求的总和为：

$v[j_1] \times w[j_1]+v[j_2] \times w[j_2]+ …+v[j_k] \times w[j_k]$ 。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为 $2$ 个正整数，用一个空格隔开： $n,m$ （其中 $N(<30000)$ 表示总钱数， $m(<25)$ 为希望购买物品的个数。）

从第 $2$ 行到第 $m+1$ 行，第 $j$ 行给出了编号为 $j-1$ 的物品的基本数据，每行有 $2$ 个非负整数 $v p$ （其中 $v$ 表示该物品的价格 $(v \le 10000)$ ， $p$ 表示该物品的重要度( $1-5$ )

输出格式

$1$ 个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值 $(<100000000)$ 。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

NOIP 2006 普及组第二题

我们来做题吧(*･ω-q)

首先，我们看到这题有两个因素，一个是价格不能超过 $N$ 元，另一个是价格×重要程度要最大，一看就是典型的dp背包题。

首先，找到状态转移方程

假定 $dp_{[j]}=花 j 元钱时，可以得到乘积的最大值$ ，那么，在花 $j$ 元钱时选第 $i$ 有两种情况：

\begin{cases} ①选第i样：\\ \qquad dp_{[j]} = dp_{[j-v[i]]} + v_{[i]}\times w_{[i]};\\ ②不选第i样： \qquad dp_{[j]} = dp_{[j]};\\ \end{cases}

而此时，状态转移方程也找到了，就是上面两个算式中大的那个！

dp[j] = \max(dp[j],dp[j-v[i]]+v[i]*w[i]);

补全代码

变量、数组

略

输入

略

递推

不略
先用memset将 $dp$ 全部初始化为 $0$ ：memset(dp,0,sizeof(dp));
接着，for循环，先循环找第 $i$ 样，再循环看价格， $\color{white}\colorbox{red}{注：一定要从n开始，不断减一，不然，你的数据就会被覆盖掉。}$
里面放上dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+v[i]*w[i]);就OK了

输出

略

完整代码

请勿抄袭

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,v[30],w[30],dp[100005];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        for(int j = n; j >= v[i]; j--){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+v[i]*w[i]);
        }
    }
    cout << dp[n];
    return 0;
}

#题解 P1060开心的金明